Sistem Teorisi: Tam Uzay Ödev Sorusu
Table of Contents
Problem
C^n [a,b] uzayı1 ile R^n uzayı arasında tanımlanan ϕ 2 için norm, sürekli fonksiyonların oluşturduğu uzayda
\begin{align*}\varphi=\begin{bmatrix}\varphi_1\\\varphi_2\\...\\\varphi_n\\\end{bmatrix}\qquad\varphi:[a,b]\qquad||\varphi||=\mathop{max}_{r,t}|\varphi_r(t)|\end{align*}biçiminde tanımlanmıştır. Bu uzayın tam uzay olduğunu gösteriniz. \clearpage
Çözüm
Verilen uzayın tam uzay olabilmesi için, içindeki her Cauchy dizisinin aynı zamanda bir yakınsak dizi olması gerekir. Bu durumda ispat yaparken uzaydaki Cauchy dizilerinin yakınsak olduğunu göstermek gerekir.
Bir Cauchy dizisi tanımlanıp, bileşenlerindeki fonksiyonların bir fonksiyona yakınsadığı ve bu fonksiyonun sürekli olduğu göstermemiz gerekecek.
Cauchy dizisi tanımlanması
{x_n(t)} dizisi C^n[a,b] uzayında bir Cauchy dizisi olsun. Bu dizinin elemanları, bileşenleri sürekli fonksiyonlar olan vektörler olacaktır. {x_n(t)} dizisi, Cauchy dizisi tanımına göre m ve n dizinin eleman indisleri olmak üzere
\begin{align*}||x_m(t)-x_n(t)||<\epsilon\qquad\forall m,n\geq N\end{align*}sağlayacaktır.
Dizi bileşenlerinin incelenmesi
Problemde verilen maksimum norm tanımına göre, ϕ'ler dizi elemanlarının bileşenlerini göstermek üzere
\begin{align}||x_m(t)-x_n(t)||=\mathop{max}_{r,t}|\varphi_{rm}(t)-\varphi_{rn}(t)|<\epsilon\end{align}sağlanmalı ve dizi bileşenlerinin de ayrı ayrı Cauchy dizileri oluşturması gerekir. Bu yüzden
\begin{align*}|\varphi_{rm}(t)-\varphi_{rn}(t)|<\epsilon\end{align*}sağlanmalıdır. Her bir bileşenin aldığı değerler, maksimum değerleri veren bileşenlerin değerlerinden küçük ya da en fazla eşit olacağı için 1 numaralı denklemi kullanarak söz konusu eşitsizliğin sağladığını gösterebiliriz:
\begin{align*}|\varphi_{rm}(t)-\varphi_{rn}(t)|\leq \mathop{max}_{r,t}|\varphi_{rm}(t)-\varphi_{rn}(t)|<\epsilon\end{align*}\clearpage
t_1 değeri için inceleme
Belirli bir r bileşen numarası için r. bileşenlerin bir araya gelerek oluşturduğu dizi de Cauchy dizisi olacaktır. Bu dizide belli bir t_1 noktasında alınan değerlerin Cauchy dizisi olduğu gösterilirse, belli bir noktaya yakınsadığı da gösterilmiş olur çünkü alınan değerlerin bulunduğu R^n uzayı bir tam uzaydır.
\begin{align*}|\varphi_{rm}(t_1)-\varphi_{rn}(t_1)|<\epsilon\end{align*}olduğunun gösterilmesi gerekir ve tekrar 1 numaralı denklem ile bu ispat yapılabilir:
\begin{align*}|\varphi_{rm}(t_1)-\varphi_{rn}(t_1)|\leq \mathop{max}_{r,t}|\varphi_{rm}(t)-\varphi_{rn}(t)|<\epsilon\end{align*}Yakınsaklık durumu ispatlandığı için,
\begin{align}\lim_{m \to \infty}\varphi_{rm}(t_1)=\varphi_r(t_1)\end{align}geçerli olacaktır.
Final
2 numaralı denklemde verilen limit [a,b] aralığındaki her bir t değeri için geçerli olacağından, söz konusu yakınsaklığı şu şekilde ifade edebiliriz:
\begin{align*}||\varphi_{rm}(t)-\varphi_r(t)||<\epsilon\qquad\forall t\in [a,b]\end{align*} \begin{align*}max|\varphi_{rm}(t)-\varphi_r(t)|<\epsilon\end{align*}Bu durumda ϕ_{rm}(t) fonksiyonu m büyüdükçe ϕ_r(t) fonksiyonuna yakınsıyordur ve bu ϕ(t) fonksiyonu sürekli bir fonksiyondur. Bu sürekli fonksiyonlardan oluşan vektörler de belirli bir sürekli fonksiyon vektörüne yakınsayacaktır:
\begin{align*}\lim_{m \to \infty}x_m=x\end{align*}Yakınsanan vektör x vektörü problemde verilen sürekli fonksiyon uzayının bir elemanı olacaktır. (x∈ C^n[a,b]) Bu yüzden C^n[a,b] bir tam uzaydır.