Sistem Teorisi: Bazların Değişimi Ödev Sorusu

\(w_1=\begin{bmatrix}1\\1\\1\\\end{bmatrix}\) \(w_2=\begin{bmatrix}1\\1\\0\\\end{bmatrix}\) \(w_3=\begin{bmatrix}1\\0\\0\\\end{bmatrix}\) \(v_1=\begin{bmatrix}1\\0\\1\\\end{bmatrix}\) \(v_2=\begin{bmatrix}0\\1\\-1\\\end{bmatrix}\) \(v_3=\begin{bmatrix}1\\2\\0\\\end{bmatrix}\)

\(w^1=\begin{bmatrix}-1\\1\\-1\\\end{bmatrix}\) \(w^2=\begin{bmatrix}-1\\1\\0\\\end{bmatrix}\) \(w^3=\begin{bmatrix}-1\\0\\0\\\end{bmatrix}\) \(v^1=\begin{bmatrix}1\\0\\0\\\end{bmatrix}\) \(v^2=\begin{bmatrix}0\\0\\-1\\\end{bmatrix}\) \(v^3=\begin{bmatrix}0\\1\\0\\\end{bmatrix}\)

\begin{align*}\mathcal A_1=\begin{bmatrix}1&0&0\\1&-1&0\\1&3&2\\\end{bmatrix}\end{align*}

W uzayında yeni baz vektörleri, eski baz vektörleri cinsinden yazılacak. Bu işlem 1 numaralı eşitlikteki gibi formülize edilebilir.

\begin{equation}w^i=\sum_{k=1}^{3} p_{ki}w_k=p_{1i}w_1+p_{2i}w_2+p_{3i}w_3\end{equation}

Farklı \(i\) değerlerini kullanarak \(P\) matrisinin farklı sütunlarını elde edeceğiz. Denklemler 2, 3 ve 4 numaralı eşitlikler şeklinde elde edilecektir.

\begin{equation}\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}=\sum_{k=1}^{3}p_{k1}w_k=p_{11}\begin{bmatrix}1\\1\\1\\\end{bmatrix}+p_{21}\begin{bmatrix}1\\1\\0\\\end{bmatrix}+p_{31}\begin{bmatrix}1\\0\\0\\\end{bmatrix}\end{equation} \begin{equation}\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}=\sum_{k=1}^{3}p_{k2}w_k=p_{12}\begin{bmatrix}1\\1\\1\\\end{bmatrix}+p_{22}\begin{bmatrix}1\\1\\0\\\end{bmatrix}+p_{32}\begin{bmatrix}1\\0\\0\\\end{bmatrix}\end{equation} \begin{equation}\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}=\sum_{k=1}^{3}p_{k3}w_k=p_{13}\begin{bmatrix}1\\1\\1\\\end{bmatrix}+p_{23}\begin{bmatrix}1\\1\\0\\\end{bmatrix}+p_{33}\begin{bmatrix}1\\0\\0\\\end{bmatrix}\end{equation}

Denklemler sırasıyla çözüldüğü zaman P matrisi aşağıdaki gibi elde edilecektir:

\begin{align*}P=\begin{bmatrix}-1&0&0\\2&1&0\\-2&-2&-1\\\end{bmatrix}\end{align*}

V uzayında ise eski baz vektörleri, yeni baz vektörleri cinsinsinden yazılacak. W uzayında yapılan adımlar sırayla takip edilirse aşağıdaki eşitlikler bulunacaktır:

\begin{equation}v_l=\sum_{j=1}^{3} q_{jl}v^j=q_{1l}v^1+q_{2l}v^2+q_{3l}v^3\end{equation} \begin{equation}\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}=\sum_{j=1}^{3}q_{j1}v^j=q_{11}\begin{bmatrix}1\\0\\0\\\end{bmatrix}+q_{21}\begin{bmatrix}0\\0\\-1\\\end{bmatrix}+q_{31}\begin{bmatrix}1\\0\\0\\\end{bmatrix}\end{equation} \begin{equation}\begin{bmatrix}0\\1\\-1\end{bmatrix}=\sum_{j=1}^{3}q_{j2}v^j=q_{12}\begin{bmatrix}1\\0\\0\\\end{bmatrix}+q_{22}\begin{bmatrix}0\\0\\-1\\\end{bmatrix}+q_{32}\begin{bmatrix}1\\0\\0\\\end{bmatrix}\end{equation} \begin{equation}\begin{bmatrix}1\\2\\0\end{bmatrix}=\sum_{j=1}^{3}q_{j3}v^j=q_{13}\begin{bmatrix}1\\0\\0\\\end{bmatrix}+q_{23}\begin{bmatrix}0\\0\\-1\\\end{bmatrix}+q_{33}\begin{bmatrix}1\\0\\0\\\end{bmatrix}\end{equation}

Denklemler çözüldüğü zaman Q matrisi aşağıdaki gibi elde edilecektir:

\begin{align*}Q=\begin{bmatrix}1&0&1\\-1&1&0\\0&1&2\\\end{bmatrix}\end{align*}

Lineer dönüşüm matrisi ve baz vektörlerinin katsayı vektörleri arasındaki ilişki:

\begin{equation}\eta_1=\mathcal A_1*\zeta_1\end{equation} \begin{equation}\eta^1=\mathcal A^1*\zeta^1\end{equation}

W uzayının eski ve yeni baz vektörleri arasındaki ilişki:

\begin{equation}\zeta_1=P*\zeta^1\end{equation}

V uzayının yeni ve eski baz vektörleri arasındaki ilişki:

\begin{equation}\eta^1=Q*\eta_1\end{equation}

9, 10, 11, 12 eşitlikleri birleştirildiğinde aşağıdaki eşitlik elde edilir:

\begin{equation}\mathcal A^1=Q*\mathcal A_1*P\end{equation}

Matris işlemi yapılarak \(\mathcal A^1\) matrisi elde edilebilir:

\begin{equation}\mathcal A^1=\begin{bmatrix}-1&0&1\\-1&1&0\\0&1&2\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&0\\1&-1&0\\1&3&2\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1&0&0\\2&1&0\\-2&-2&-1\\\end{bmatrix}\end{equation}

Bu durumda bulunması istenen matrisler aşağıdaki gibidir:

\begin{align*}\mathcal A^1=\begin{bmatrix}0&-1&-2\\-2&-1&0\\-1&-3&-4\end{bmatrix}\end{align*} \begin{align*}P=\begin{bmatrix}-1&0&0\\2&1&0\\-2&-2&-1\\\end{bmatrix}\end{align*} \begin{align*}Q=\begin{bmatrix}1&0&1\\-1&1&0\\0&1&2\\\end{bmatrix}\end{align*}

Problemde verilen \(\mathcal A_1\) matrisini ders sonrasında pratik olması açısında incelemeye karar verdim. Lineer dönüşümün matris olarak gösterilmesiyle ilgili kısmı defalarca okuyup soruya dönmeme rağmen verilen matrisin hatalı olduğunu buluyordum. Verilen baz vektörleri ve \(\mathcal A_1\) matrisi uyumsuz gibi görünüyordu. Bu matrisi kendim hesaplamaya kalktığımda aşağıdaki gibi olması gerektiğini buldum:

\begin{align*}\mathcal A_1=\begin{bmatrix}0&1&2\\-1&1&2\\1&0&-1\\\end{bmatrix}\end{align*}